第1课：实数、整式与分式的运算技巧
（90分钟：50分钟知识点+例题精讲+30分钟分层练习+10分钟错题反馈）
一、核心知识点拆解（聚焦中考基础高频）
1. 实数运算核心考点
- 实数分类：有理数（整数、分数）、无理数（常见：$\pi, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ 等），中考常考“判断实数类型”小题。
- 基础运算：相反数、绝对值、倒数（核心性质：$a+(-a)=0$， $|a| \ge 0$， $a \cdot \frac{1}{a}=1$ ($a \neq 0$)）。
- 混合运算：含零指数幂（$a^0=1, a \neq 0$）、负整数指数幂（$a^{-n}=\frac{1}{a^n}, a \neq 0$）、二次根式（$\sqrt{a} \ge 0, a \ge 0$；$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ ($a \ge 0, b > 0$)），中考第一大题高频题型。
2. 整式运算核心考点
- 幂的运算：同底数幂相乘（$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$）、同底数幂相除（$a^m \div a^n = a^{m-n}, a \neq 0$）、幂的乘方（$(a^m)^n = a^{mn}$）、积的乘方（$(ab)^n = a^n b^n$），中考小题或整式化简基础。
- 整式加减：去括号、合并同类项（核心：只合并系数，字母及指数不变）。
- 因式分解（中考高频基础）：仅掌握2类——提取公因式（$ma+mb+mc=m(a+b+c)$）、平方差公式（$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$）、完全平方公式（$a^2 \pm 2ab+b^2=(a \pm b)^2$），删减十字相乘法等复杂类型。
3. 分式运算核心考点
- 分式有意义条件：分母 $\neq 0$（中考高频易错点）。
- 分式化简：因式分解 → 约分 → 通分（核心：先分解再化简，避免直接运算繁琐）。
- 分式求值：先化简再代入（代入值需满足“分母 $\neq 0$”，易错点：忽略取值范围）。
二、基础例题精讲（含详细步骤，适配基础理解）
例题1：实数混合运算（中考第一大题原型）
计算：$\sqrt{4} + (-1)^{2026} + (\pi-3.14)^0 - 2^{-1}$
步骤解析：
① 分别化简每一项：$\sqrt{4}=2$（二次根式化简，核心：$\sqrt{a^2}=|a|$）；
② $(-1)^{2026}=1$（负数的偶次幂为正）；
③ $(\pi-3.14)^0=1$（零指数幂性质：$a^0=1, a \neq 0$，$\pi \approx 3.1415 > 3.14$，故 $\pi-3.14 \neq 0$）；
④ $2^{-1}=\frac{1}{2}$（负整数指数幂性质：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$）；
⑤ 合并计算：$2 + 1 + 1 - \frac{1}{2} = 3.5$（或 $\frac{7}{2}$）。
易错点提醒：避免将 $(\pi-3.14)^0$ 算成 0，或 $2^{-1}$ 算成 -2。
例题2：整式因式分解（中考基础小题）
分解因式：（1）$2a^2b - 4ab$；（2）$x^2 - 4$
步骤解析：
（1）提取公因式：$2a^2b - 4ab = 2ab(a - 2)$（核心：找各项公因式 $2ab$，提出来后括号内剩余项）；
（2）平方差公式：$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x + 2)(x - 2)$（核心：识别“两项平方差”形式，套公式）。
易错点提醒：分解要彻底，避免漏提公因式（如第（1）题只提 $2a$，漏提 $b$）。
例题3：分式化简求值（中考中档解答题第一问）
先化简，再求值：$\frac{x^2 - 4}{x + 2} \div \frac{x - 2}{x}$，其中 $x=3$
步骤解析：
① 先判断分式有意义条件：$x+2 \neq 0$、$x-2 \neq 0$、$x \neq 0$，故 $x \neq -2, 2, 0$（提前标注，规避易错）；
② 因式分解分子：$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$（平方差公式）；
③ 将除法转化为乘法：除以一个数等于乘它的倒数，即 $\frac{(x+2)(x-2)}{x+2} \times \frac{x}{x-2}$；
④ 约分：$(x+2)$ 与 $(x+2)$ 约去，$(x-2)$ 与 $(x-2)$ 约去，剩余 $x$；
⑤ 代入求值：$x=3$（满足取值范围），故结果为3。
易错点提醒：避免未化简直接代入计算，或忽略 $x$ 的取值范围。
三、分层练习（基础题60%，中档题30%，共5题，30分钟完成）
- 基础题1（实数运算）：计算：$\sqrt{9} + (-2)^3 + (2 - \sqrt{3})^0 - 3^{-1}$；（对应知识点：实数混合运算）
- 基础题2（因式分解）：分解因式：（1）$3x^3 - 6x^2$；（2）$y^2 - 9y^2$；（对应知识点：提取公因式、平方差公式）
- 基础题3（分式有意义条件）：若分式 $\frac{x - 1}{x^2 - 4}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是______；（对应知识点：分式有意义条件）
- 中档题1（整式化简）：化简：$2a(3a - 2) + (2a + 1)(2a - 1)$；（对应知识点：整式乘法+平方差公式）
- 中档题2（分式化简求值）：先化简，再求值：$\frac{a^2 - 2a}{a^2 - 4} \div \frac{a - 2}{a + 2}$，其中 $a=1$；（对应知识点：分式化简求值）
💡 五、高频易错点总结（10分钟反馈重点）
- 实数运算：零指数幂、负指数幂公式混淆（如把 $a^{-n}$ 算成 $-a^n$）；二次根式化简不彻底（如 $\sqrt{12}$ 没化成 $2\sqrt{3}$）；
- 因式分解：漏提公因式（如 $3x^3-6x^2$ 只提 $3x$，漏提 $x$）；强行用公式分解非公式形式（如 $y^2-9y^2$ 硬套平方差）；
- 分式运算：忽略分母不为0的取值范围；未化简直接代入求值导致计算繁琐出错；
理由：运算题是中考基础送分题（占比10%-15%），基础一般学生常因运算失误丢分，优先夯实可快速拿分，建立复习信心。
第2课：一元一次、二次方程及不等式组
（90分钟：50分钟知识点+例题精讲+30分钟分层练习+10分钟错题反馈）
一、核心知识点拆解（聚焦中考基础高频）
1. 一元一次方程核心考点
- 定义：只含一个未知数，未知数次数为1，且等式两边都是整式（如 $ax+b=0, a \neq 0$）；
- 解法步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1（核心：移项要变号，去分母不漏乘常数项）；
- 中考考向：基础解法小题、应用题中的等量关系建立；
2. 二元一次方程组核心考点
- 定义：含两个未知数，每个未知数次数为1的两个一次方程组成的方程组（如 $\begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{cases}$）；
- 解法：代入消元法（适用于某未知数系数为1或-1）、加减消元法（适用于同类项系数成倍数）；
- 中考考向：基础解法小题、简单应用题（如购物、分配问题）；
3. 一元二次方程核心考点（中考高频）
- 定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0（$ax^2+bx+c=0, a \neq 0$）；
- 基础解法：配方法（核心：化二次项系数为1，两边加一次项系数一半的平方）、公式法（$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，前提 $\Delta \ge 0$）；
- 根的判别式 ($\Delta=b^2-4ac$)：$\Delta > 0 \rightarrow$ 两个不相等实数根；$\Delta = 0 \rightarrow$ 两个相等实数根；$\Delta < 0 \rightarrow$ 无实数根（中考高频小题/中档题第一问）；
- 韦达定理：仅简单提及（$x_1+x_2=-b/a, x_1x_2=c/a$），不深入拓展，适配部分省份基础需求；
4. 一元一次不等式组核心考点
- 定义：由两个或多个一元一次不等式组成的方程组；
- 解法步骤：分别解每个不等式 → 找不等式解集的公共部分（借助数轴更直观，核心：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”）；
- 中考考向：不等式组的解集求解、整数解问题（高频小题）；
二、基础例题精讲（含详细步骤，适配基础理解）
例题1：一元一次方程解法（中考基础小题原型）
解方程：$\frac{2x-1}{3} - x = 1$
步骤解析：
① 去分母：两边同乘3（最小公倍数），得 $2x-1 - 3x = 3$（易错点提醒：常数项1也要乘3，避免漏乘）；
② 去括号：无括号，直接进行移项；
③ 移项：$2x - 3x = 3 + 1$（易错点提醒：-1移到右边变+1）；
④ 合并同类项：$-x = 4$；
⑤ 系数化为1：$x = -4$；
检验：代入原方程，左边 $=\frac{2 \times (-4)-1}{3} - (-4)=\frac{-9}{3} +4=-3+4=1$，右边=1，左边=右边，解正确；
例题2：一元二次方程解法（配方法）+根的判别式（中考中档题原型）
（1）用配方法解方程：$x^2-4x+1=0$；
（2）判断方程 $2x^2+3x+1=0$ 的根的情况；
步骤解析：
（1）配方法求解：
① 移项：$x^2-4x = -1$（把常数项移到右边）；
② 配方：两边加一次项系数一半的平方（$(-4)/2= -2$，平方为4），得 $x^2-4x+4 = -1+4$；
③ 化为完全平方：$(x-2)^2 = 3$；
④ 开方：$x-2=\pm\sqrt{3}$；
⑤ 求解：$x_1=2+\sqrt{3}, x_2=2-\sqrt{3}$；
（2）根的判别式判断：
① 明确系数：$a=2, b=3, c=1$（易错点提醒：先确认二次项系数 $a \neq 0$，本题 $a=2 \neq 0$，符合一元二次方程定义）；
② 计算 $\Delta$：$\Delta=b^2-4ac=3^2-4 \times 2 \times 1=9-8=1$；
③ 判断根的情况：$\Delta=1>0$，故方程有两个不相等的实数根；
例题3：一元一次不等式组解法及整数解（中考高频小题）
解不等式组：$\begin{cases} 2x-1 \le 3 \quad ① \\ x+2 > 1 \quad ② \end{cases}$，并写出其整数解；
步骤解析：
① 解不等式①：$2x-1 \le 3 \rightarrow 2x \le 4 \rightarrow x \le 2$；
② 解不等式②：$x+2 > 1 \rightarrow x > -1$；
③ 找公共解集：借助数轴，x的取值范围是 $-1 < x \le 2$；
④ 找整数解：在 $-1 < x \le 2$ 范围内的整数为0、1、2；
易错点提醒：注意不等号方向，“$\le$”“$\ge$”包含端点值，“$<$”“$>$”不包含端点值；
三、分层练习（基础题60%，中档题30%，共5题，30分钟完成）
- 基础题1（一元一次方程解法）：解方程：$\frac{3x+2}{2} - 1 = \frac{2x-1}{3}$；（对应知识点：一元一次方程解法）
- 基础题2（二元一次方程组解法）：解方程组：$\begin{cases} x+y=5 \\ 2x-y=1 \end{cases}$；（对应知识点：加减消元法）
- 基础题3（一元二次方程根的判别式）：判断方程 $x^2-2x+1=0$ 的根的情况；（对应知识点：根的判别式）
- 中档题1（一元二次方程解法）：用公式法解方程：$2x^2-5x+2=0$；（对应知识点：公式法求解一元二次方程）
- 中档题2（不等式组及整数解）：解不等式组：$\begin{cases} 3x+4 > x \quad ① \\ \frac{x-1}{2} \le 1 \quad ② \end{cases}$，并写出所有整数解；（对应知识点：不等式组解法+整数解）
💡 五、高频易错点总结（10分钟反馈重点）
- 方程解法：一元一次方程去分母漏乘常数项、移项不变号；二元一次方程组消元时符号出错；
- 一元二次方程：忽略二次项系数 $a \neq 0$ 的前提（判断根的情况、用公式法时）；配方法忘记“化二次项系数为1”或“两边同加一次项系数一半的平方”；
- 不等式组：解不等式时，两边乘/除以负数未变号；找公共解集时忽略数轴直观辅助，导致范围判断错误；整数解遗漏端点值或多算无效值；
理由：方程与不等式是“数与代数”的核心工具，后续函数、应用题均需依托其解题，基础解法掌握后可辐射多个提分模块。
第3课：方程与不等式的实际应用（应用题专项）
（90分钟：50分钟知识点+例题精讲+30分钟分层练习+10分钟错题反馈）
一、核心知识点拆解（聚焦中考基础高频）
1. 应用题核心解题步骤（通用模板）
- 审题：圈画关键词（如“相遇”“合作”“最多”“不超过”），区分“等量关系”（列方程）和“不等关系”（列不等式）；
- 设元：优先设直接未知数（问什么设什么），复杂场景设间接未知数（如“设原来的速度为x km/h”）；
- 列方程/不等式：根据关键词转化为数学式子（如“相遇时路程和=总路程”“总费用 $\le$ 预算”）；
- 求解：按方程/不等式解法计算；
- 检验：既要检验方程解的正确性，也要检验是否符合实际意义（如人数、速度不能为负）；
2. 三大高频题型核心考点
- 行程问题：核心公式（路程=速度 $\times$ 时间）；常见类型（相遇问题：路程和=总路程；追及问题：路程差=初始距离）；
- 工程问题：核心公式（工作量=工作效率 $\times$ 工作时间）；常见类型（单人完工、多人合作：效率和 $\times$ 时间=总工作量，通常设总工作量为1）；
- 方案选择问题：核心逻辑（根据不等关系确定取值范围，再结合实际场景筛选方案）；关键词（“至少”“最多”“不超过”，对应列不等式）；
二、基础例题精讲（含详细步骤，适配基础理解）
例题1：行程问题（相遇问题）
甲、乙两车从相距360km的A、B两地同时出发，相向而行，甲车速度为60km/h，乙车速度为40km/h，经过几小时两车相遇？
步骤解析：
① 审题：关键词“相向而行”“相遇”，等量关系：甲车路程+乙车路程=总距离360km；
② 设元：设经过 $t$ 小时两车相遇；
③ 列方程：$60t + 40t = 360$（甲车路程=60t，乙车路程=40t）；
④ 求解：$100t=360 \rightarrow t=3.6$；
⑤ 检验：$t=3.6$ 时，甲车路程=60 $\times$ 3.6=216km，乙车路程=40 $\times$ 3.6=144km，216+144=360km，符合总距离；时间为正，符合实际；
答：经过3.6小时两车相遇；
例题2：工程问题（合作完工）
一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作需要几天完成这项工程的一半？
步骤解析：
① 审题：关键词“合作”“完成一半”，等量关系：（甲效率+乙效率）$\times$ 合作时间=总工作量的 $1/2$；设总工作量为1；
② 设元：设两人合作需要 $x$ 天完成工程的一半；
③ 列方程：$(\frac{1}{10} + \frac{1}{15})x = \frac{1}{2}$（甲效率=1/10，乙效率=1/15）；
④ 求解：通分左边：$(\frac{3}{30} + \frac{2}{30})x=\frac{5}{30} x=\frac{1}{6} x$；故 $\frac{1}{6} x=\frac{1}{2} \rightarrow x=3$；
⑤ 检验：$x=3$ 时，$(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}) \times 3=(\frac{1}{6}) \times 3=\frac{1}{2}$，符合“完成一半”；时间为正，符合实际；
答：两人合作需要3天完成这项工程的一半；
例题3：方案选择问题（不等式应用）
某商店销售A商品，每件进价20元，售价30元。现需购进一批A商品，预算资金不超过1000元，问最多能购进多少件A商品？
步骤解析：
① 审题：关键词“不超过”，不等关系：进价 $\times$ 数量 $\le$ 预算1000元；
② 设元：设最多能购进 $x$ 件A商品；
③ 列不等式：$20x \le 1000$；
④ 求解：$x \le 50$；
⑤ 检验：$x=50$ 时，总进价=20 $\times$ 50=1000元，符合预算；$x$ 为正整数，最多取50；
答：最多能购进50件A商品；
三、分层练习（基础题60%，中档题30%，共5题，30分钟完成）
- 基础题1（行程问题）：甲、乙两人骑自行车从同一地点出发，同向而行，甲速度为15km/h，乙速度为12km/h，经过几小时甲比乙多行驶15km？（对应知识点：追及问题）
- 基础题2（工程问题）：单独完成一项工作，丙需要20天，丁需要30天，丙先做5天，剩下的由丁单独完成，还需要几天？（对应知识点：单人接力工程问题）
- 基础题3（方案选择问题）：某班组织春游，车费每人15元，总费用不超过900元，该班最多有多少名学生参加？（对应知识点：不等式应用）
- 中档题1（行程问题）：A、B两地相距240km，一辆货车从A地开往B地，速度为40km/h，货车出发1小时后，一辆客车从B地开往A地，速度为60km/h，客车出发后几小时与货车相遇？（对应知识点：先出发的相遇问题）
- 中档题2（工程问题）：一项工程，甲、乙合作需要6天完成，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要几天完成？（对应知识点：合作效率逆推）
💡 五、高频易错点总结（10分钟反馈重点）
- 审题失误：混淆“相遇”与“追及”的路程关系；忽略工程问题中“总工作量设为1”的通用技巧；漏看“先出发”“先做几天”等前置条件；
- 设元不规范：未标注单位（如“设t小时”而非“设t”）；复杂场景未选对间接未知数，导致方程繁琐；
- 检验缺失：只检验方程解的正确性，忽略实际意义（如人数、天数为正整数，速度、工作量不为负）；
- 答题不完整：未写“答”句，或答句未对应问题（如问题问“最多多少件”，答句只写“x $\le$ 50”）；
理由：基础应用题是中考中档分核心（占比8%-10%），题型固定、思路清晰，基础一般学生通过模板化训练可快速掌握，实现提分突破。